Под множеством мы будем понимать любую совокупность некоторых объектов, а сами объекты будем называть элементами множества.
Под множеством мы будем понимать любую совокупность некоторых объектов, а сами объекты будем называть элементами множества.
”Все есть множество” - Е.В. Дашков.
Для конечных множеств мы можем говорить о количестве его элементов, для бесконечных - о его мощности.
$\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел. $\mathbb{Z}$ - множество целых чисел, состоящее из всех натуральных чисел, числа нуль и чисел, противоположных натуральным. $\mathbb{Q}$ - множество рациональных чисел, то есть чисел, представимых в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{Z},\ (m, n) = 1$. $\mathbb{I}$ - множество иррациональных чисел. $\mathbb{R}$ - множество действительных чисел (объединение рациональных и иррациональных чисел) Имеем: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Декартовым произведением $X \times Y$ множеств $X$ и $Y$ называют множество всевозможных пар $(x, y$), где первый элемент $x$ каждой пары принадлежит $X$, а второй её элемент $y$ принадлежит $Y$.
Функцией $f$, определённой на множестве $X$ и принимающей значения во множестве $Y$, называется подмножество декартова произведения $X \times Y$, если выполнено следующее условие: $\forall x \in X\ \exists !\$ пара $(x, y) \in f\ \equiv\ y = f(x)$. $Y$ - образ, $X$ - прообраз.
$f(X) = \{y \in Y | y=f(x), x \in X\}$.
Сюръекция: $\forall y \in Y\ \exists x \in X:\ y = f(x)$
Инъекция: $f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 =x_2$
Биекция: сюръекция + инъекция.
Множества $A$ и $B$ равномощными или эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию): $A \sim B$. (Например, $\mathbb{N} \sim \mathbb{Q}$).
Множество, равномощное $\mathbb{N}$ называют счётным.