Последовательность {aₙ} имеет предел A, если для любого ε > 0 существует N, такое что для всех n > N выполнено неравенство |aₙ – A| < ε.
Единственность предела.
Линейность. Если aₙ → A и bₙ → B, то для любых констант α, β выполнено:
αaₙ + βbₙ → αA + βB.
Произведение и частное.
Передаточные неравенства. Если aₙ ≤ bₙ для всех n, то соответствующие пределы удовлетворяют тому же соотношению (при существовании).
Если последовательность {aₙ} ограничена и содержит подпоследовательность, сходящуюся к A, то существует также другая подпоследовательность, сходящаяся к любому значению между предельными точками (если последовательность не имеет единственного предела, то из свойства компактности можно выделить нужные подпоследовательности).
Любая монотонная (возрастающая или убывающая) и ограниченная последовательность сходится.
Пример: Если {aₙ} — монотонно возрастающая и существует M, что для всех n: aₙ ≤ M, тогда aₙ сходится к некоторому A, где A ≤ M.
Функция f(x) имеет предел L при x → x₀, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при 0 < |x – x₀| < δ выполнено |f(x) – L| < ε.
Говорят, что f(x) имеет предел L при x → ∞, если для любого ε > 0 найдется M, что для всех x > M выполнено |f(x) – L| < ε.