0. Случайная величина

Случайной величиной называют числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошёл в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины. Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдёт именно этот исход. Обозначать случайные величины (СВ) принято греческими буквами $ξ ,η,ζ$ и т.д.

1. Функция распределения (distribution function)

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины $ξ$ называют функцию $F_ξ (x)$, значение которой в точке $x$ равно вероятности события ${ξ \leq x}$, т.е. $Fξ(x) = P\{ξ \leq x\}$.

Свойства:

1. $0 \leq F(x) \leq 1.$
2. $F(x_1) \leq F(x_2)$ при $x_1 < x_2$, т.е. $F(x)$ — неубывающая функция.
3. $F(−∞) = \lim_{x→−∞} F(x) = 0;\ F(+∞) = \lim_{x→+∞} F(x) = 1.$
4. $P\{x_1 < \xi \leq x_2\} = F(x_2)−F(x_1).$
5. $F(x_0) = \lim_{ε→0;\ ε>0}F(x_0 +ε)$, т.е. $F(x)$ — непрерывная справа функция.

2. Дискретная величина (discrete variable)

Случайную величину $\xi$ называют дискретной, если множество её возможных значений конечно или счётно.

3. Непрерывная величина (continuous variable)

Случайная величина, у которой существует плотность вероятности, называется абсолютно непрерывной (имеет абсолютно непрерывное распределение).

4. Плотность распределения (density)

Плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины $ξ$ называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f_ξ(x)$, для которой при любом $x ∈ R$ выполняется соотношение $F_ξ(x) = \int_{-\infty}^xf_ξ(t)\ dt.$

Значение плотности вероятности в определённой точке на графике показывает, как вероятность распределена вокруг этой точки. Другими словами, оно указывает, насколько вероятно получить это конкретное значение случайной величины.

Допустим, у нас есть случайная величина, например, длина пальцев, и мы строим график ее плотности вероятности. Если значение плотности вероятности для длины пальца равно 0.1 при длине 3 см, это означает, что вероятность того, что длина пальца будет именно 3 см, составляет 0.1 или 10%.

Представим, что у нас есть график плотности вероятности для длины пальцев, где ось $x$представляет собой длину пальцев в сантиметрах, а ось $y$ представляет собой плотность вероятности $f(x)$.

Теперь, если мы хотим узнать вероятность того, что длина пальцев находится между 2 и 3 см, мы смотрим на область под кривой между значениями 2 и 3 на графике. Под этой областью понимается площадь под кривой в пределах этого интервала.